Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев icon

Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев



НазваниеСборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев
Дата16.02.2014
Размер144.55 Kb.
ТипСборник задач

НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЕ n-СТЕПЕНИ.

Епифанцева Е. С.

8 класс, ОШ с. Колхозное, Осакаровского района

рук. Зимина Л. И.


Литература

  1. Алгебра 8 класс, Шыныбеков А. Н.

  2. Возникновение и развитие математической науки, К. А. Рыбников.

  3. Нестандартные задачи по алгебре, Ф. А. Бартенев.

  4. Школьникам о математике и математиках, М. М. Лиман.

  5. Уравнения и неравенства, М. И. Башмаков.

  6. Сборник задач Московских математических олимпиад, Г. И. Зубелевич.

  7. Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин.

  8. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ, И. Н. Бронштейн и К.А. Семендяев.



Процесс «решения» уравнения есть просто

акт приведения его к возможно более простой форме.

В какой бы форме уравнение ни было написано,

его информационный характер остаётся тот же.

Но в некоторых формах его нелегко прочесть.

Решение его иногда аналогично интерпретации

иероглифа или переводу незнакомой фразы на

понятный язык.

Лодж. О.


Алгебра в её современном состоянии представляет собой объединение большого числа математических теорий. Алгебраическая часть школьного курса алгебры концентрируется вокруг следующих проблем: тождественное преобразований алгебраических выражений, решение и исследование алгебраических уравнений, ознакомление с простейшими функциями и способами их исследования. В трудах Омара Хайяма сформулировано определение алгебры. « Алгебра есть научное искусство. Её предмет – это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесённые к какой-либо известной вещи так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определённое отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных… Алгебраические решения, как это хорошо известно, производятся лишь с помощью уравнения, т.е. приравниваем одних степеней другим».

Уравнения, рассматриваемые в данном сообщении, будут решаться на множестве действительных чисел, так как автор, ученица 8 класса не знакома с комплексными числами.

Цель данного доклада – показать рациональные способы решения уравнений n-степени. Применяемые здесь теоремы используются без доказательства.

Уравнения первой степени (линейные) вида ах+в=0, имеют один корень если а≠0 и в≠0, имеют бесконечное множество корней если а=0 и в=0 и не имеют корней если а=0 и в≠0. Решают уравнения делением х=-в:а.

Уравнения второй степени (квадратные) вида ах²+вх+с=0 или (после деления на а) х²+рх+q=0 могут иметь один корень, два корня или не иметь корней. Свойства квадратичной функции, используемые при решении этих уравнений, убедительно демонстрируют это. Известно, что парабола у=ах²+вх+с может иметь с осью х две точки пересечения, одну точку пересечения (касаться оси х) и не иметь точек пересечения, то есть парабола может находиться в верхней полуплоскости или в нижней полуплоскости.

Квадратные уравнения имеют много различных аналитических способов решения, и применение этих способов для каждого конкретного случая даёт возможность решать уравнения рационально. Перечислю коротко способы (приемы) решения квадратных уравнений.

1). 3х²-5=0 это уравнение решаем перенесением числа 5 в правую часть:

х = ± √5/3.

2). 4х² - 25=0 уравнение такого же типа, но рациональнее его решить разложением на множители, используя разность квадратов: (2х-5)(2х+5)=0.

3). 5х² + 8х=0 неполное квадратное уравнение, используем вынесение общего множителя за скобку: х(5х + 8)=0.

4). К некоторым уравнениям для разложения левой части на множители можно применить способ группировки: х²+5х+6=0; (х²+3х)+ (2х+6)=0.

х(х+3)+2(х+3)=0; (х+2)(х+3)=0.

5). Уравнения, имеющие в левой части полый квадрат, рационально решать с применением этой формулы 25х² +60х+36=0; (5х+6)²=0.

6). Ряд квадратных уравнений можно решать, используя свойства корней квадратного уравнения. Так для нахождения целых корней приведённого квадратного уравнения можно использовать теорему Виета и ей обратную. х²+2х-15=0; произведение корней равно -15, сумма корней равна -2, исходя из этого условия получаем подбором корни -5 и 3.

7).Если для квадратного уравнения ах² + вх + с=0 выполняется одно из равенств, а+в+с=0 или а-в+с =0, то в устной форме легко определяются корни уравнения по удобному алгоритму:

«а» плюс, минус «в» плюс «с»

Приравнялась вдруг к нулю,

Вот такие уравненья я решать очень люблю:

Единицу запишу, а потом деление

Букву «с» делю на «а»-

Вот и всё решение .

Если для условия равенства нулю указанной суммы «в» берётся с противоположны знаком , то и корни берутся с противоположными знаками. 7х² -16х+9=0; 7-16+9=0 → х=1 и х=9/7

7х²+ 16х+9 =0 ; 7-16+9=0→х=-1 и х=-9/7

8.Чаще всего школьники применяют для решения квадратных уравнений формулы корней . Применять формулы следует рационально. Для общего случая: х=-в-√D и х=-в+√D , где D=в²-4ас

2а 2а

9.Если «в» является чётным числом, то используется упрощенная формула : х=-к±√Ď, где Ď= к²-ас (к=в/2)

а

10.Упрощенная формула корней применяется и для приведенного квадратного уравнения вида х²+pх+q=0, которое не имеет целых корней. Общая формула корней приведённого квадратного уравнения

Х1,2=±

Уравнение с одним неизвестным F(х)=f(х) называется равенство двух функций от одной и той же переменной величины, верно лишь при некоторых определенных значениях этой переменной, а её значения при которых уравнение верно,- корнями или решениями уравнения.

Уравнение называется алгебраическим, если каждая из входящих в него функций F(х) и f(х) является алгебраической (рациональной или нерациональной). Одна из этих функций может быть постоянной величиной.

Из всякого алгебраического уравнения может быть путём алгебраических преобразований получено уравнение в канонической форме:

Р(х)=аохⁿ+а1хⁿ‾¹+а2хⁿ‾²+…аn


(а может быть сделано равным 1), которое имеет те же корни, что и данное (и, может быть, некоторое лишнее).

Показатель n называется степенью уравнения.

Алгебра долго развивалась как наука о решении уравнений, причем прежде всего уравнений вида:

аохⁿ+а1хⁿ‾¹+а2хⁿ‾²+…аn =0

Для решения уравнений такого вида используем:

1). Теорему Безу и её

Следствие. Для того, чтобы многочлен f(х) делился на разность х-а, необходимо и достаточно, чтобы f(а)=0.

2). Теорему Гаусса. Всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один корень, вещественный или комплексный.

Следствие. Алгебраическое уравнение имеет столько корней, вещественных или комплексных, сколько единиц в показателе его степени, причём корни считаются столько раз, какова их кратность.

3). Теорему Виета и её

Следствие. Если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена уравнения а n.

4). Схему Горнера, слайд 1

которой удобно пользоваться для определения частного от деления многочлена f(х) на разность х-а.




ао

а 1

а 2

…..

аn

а

ао

а1 =аао + а1

в2= ав1+а2

.….

R=авn-1+аn


Пример 1. Разложив многочлен на множители, мы можем находить целые корни подбором. Например:

х-2х³-8х²+13х-10=0,

среди его корней находятся числа ±1,±10,±2,±5.

F(1)= 1-2-8+13-10≠0

F(-1)=-1+2-8-13-10≠0

F(2)=32-16-32+26-10=0; х1=2

F(-2)=-32+16-32-26-10≠0

F(5)=3125-250-200+65-10≠0

F(-5)=-3125+250-200-65-10≠0

F(10)=10000-2000-800+130-10≠0

F(-10)=-10000+2000-800-130-10≠0.

При разложении на множители многочлена используют теорему: Пусть дано уравнение:

f(х)=0,

D – область определения f, и пусть функция f представлена в виде произведения функций g1,g2,….., gk, которые имеют ту же область определения D. Тогда множество решений уравнения f(х)=0 есть объединение множеств решений уравнений

g1(х)=0, g2(х)=0,……, gk(х)=0.

Разделим многочлен х-2х³-8х²+13-10 на (х-2) и получим произведение

(х-2)(х-2х³+2х²-4х+5) =0

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами осуществляется с помощью теоремы: «Если несократимая дробь есть корень многочлена аnхⁿ+а n-1хⁿ‾¹+…+а 1х+ао с целыми коэффициентами, то ао делится на p, а аn делится на q» и её следствий.

Следствие 1. Если а0=1, то уравнение с целыми коэффициентами не имеет дробных корней.

Следствие 2. Если ао≠1, аn=1, то уравнение с целыми коэффициентами может иметь дробные корни только вида

В этом случае, полагая х=, получим уравнение:

уⁿ+а n-1уⁿ‾¹+…..+а 1у+а0=0,

которое дробных корней не имеет, но зато может иметь целые корни.

Пример 2 Слайд 2

Уравнение 36х+12х³-11х²-2х+1=0 не имеет целых корней. Для его решения поступим следующим образом:

  1. х=

Произведя замену и разделив полученное уравнение на у,получаем:

2) у-2у³-11у²+12у+36=0

3) Проверка показывает, что у=-2, значит многочлен

у-2у³-11у²+12у+36 делится на (у+2). Разделив данный многочлен на у+2 получаем у³-4у²-3у+18.Решив уравнение у³-4у²-3у+18, подбором целых корней по свободному члену, выясняем, что у2=3.

4) Значит х=-, х=

При решении уравнений необходимо обращать внимание на область определения, чтобы не попасть в ловушку с лишними корнями или потерей корней. Таким образом, способы, которыми мы решаем уравнение, состоят в следующем: мы строим цепочку уравнений, в которой первое написанное уравнение – это то, которое нам дано, а дальше каждое уравнение является следствием предыдущего, то есть множество его решений содержит в себе все решения предыдущего; решения последнего уравнения нам известны; затем с помощью проверки мы выясняем, какие из решений последнего уравнения являются решениями первого.

Мы должны проделывать с уравнением только такие операции, при которых не может потеряться ни одно решение, то есть , чтобы они годились для всех «х» из области определения. Поскольку нахождение области определения процесс иногда более трудоёмкий , чем решение уравнения. Целесообразно перед началом решения выписать все «запреты» и в ходе решения сверяться с выписанными условиями.

Естественно, при преобразованиях годятся все такие операции, которые переводят любое верное равенство в верное.

Перечислим конкретно все такие операции. Пусть дано уравнение f1(х)=f2(х).

Пусть g – функция, определенная при всех тех значениях аргумента, при которых определены функции f1 и f2. Тогда уравнения:

1) f1(х)×g(х)=f2(х)×g(х),

2) f1(х)+g(х)=f2(х)+g(х)

являются следствиями уравнения f1(х)=f2(х).

Пусть g – произвольная функция, которая определена при всех возможных значениях функций f1 и f2. Тогда уравнение:

3) g(f1(х))=g(f2(х))

является следствием уравнения f1(х)=f2(х).

Необходимо помнить, что делить обе части уравнения на функцию, которая обращается в 0, нельзя. Вместо этого нужно перенести все члены уравнения в одну часть, вынести общие множители за скобку и воспользоваться теоремой о представлении левой части уравнения в виде произведения .

Кроме области определения полезно знать количество корней, которое имеет уравнение. Основная теорема алгебры гласит: «Всякое уравнение n-степени, коэффициенты которого – действительные ли комплексные числа, имеет n корней, действительных или комплексных, если k- кратный корень считать за k корней. Из этой теоремы следует, что всякое уравнение нечётной степени имеет, по меньшей мере, один действительный корень.

Самое трудное при решении уравнении придумать, как свести его к более простым. Замена одного уравнения другим, ему равносильным, множество решений которого по каким-то причинам найти легче, является основным приёмом при решении уравнений. Одним из способов решения уравнений является замена неизвестного. Выполненная замена упрощает вид уравнения, примером уравнения такого типа являются биквадратные уравнения:

ах + вх²+ с= 0, (замена х²=у)

Знание решения биквадратного уравнения поможет в решении таких уравнений:

Пример 3: (х²-х+1)-6х²(х²-х+1)²+5х=0 Слайд 3

Обозначим х²-х+1=у, перепишем уравнение у-6х²у²+5х=0, решим его относительно у².

у²=3х²±2х²; у²=5х²; у²=х².

Замена переменной широко используется и в уравнениях специального вида:

Пример 4 (х² + х +1)² - 3(х² + х +1) + 2 = 0,

а так же в уравнения, которые можно привести к специальному виду:

Пример 5 х(х +1)(х +2)(х +3)=24

х+6х³+11х²+6х-24=0

(х²+3х)(х²+3х+2)-24=0

1)х²+3х=у

2)у(у+2)-24=0

3)у1=-6 у2=4

4)х²+3х=-6 х²+3х=4

х²+3х+6=0 х²+3х-4=0

D=в²-4ас=9-24=-15<0(корней нет) 1+3-4=0 →х1=1, х2=-4

Ответ: х1=1; х2=-4.

Пример 6: (х-2)(х-3)²(х-4)=20

(х²-6х+9)(х²-6х+8)-20=0

  1. х²-6х+9=у

  2. у(у-1)-20=0

  3. у²-у-20

у1=5 у2=-4

4) х²-6х+9=5 х²-6х+9=-4

х²-6х+4=0 х²-6х+13=0

D´=n²-ас= 9-4=5>0(2к.) D'=n²-ac=9-13=-4<0(корней нет)

х1,2==3±√5


Симметричное уравнение n-го порядка имеет вид:

ахⁿ+вхⁿ‾¹+сⁿ‾²+….+сх²+вх+а=0, а≠0,

то есть коэффициенты, «равноудаленные» от начала и конца уравнения, равны между собой.

Возвратными называются уравнения чётной степени, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от концов многочлена, равны при х в четных степенях, равны или отличаются знаками при х в нечетных степенях, например:

ах+вх³+сх²±вх+а=0

С помощью подстановок х+ =у или х-=у, соответственно степень понижается вдвое.

Решение симметричных уравнений нечетного порядка несколько иначе, чем решение уравнений четного порядка. Для решения подобных уравнений сначала группируют члены с одинаковыми коэффициентами.

Коэффициенты при нечетных степенях х противоположны по знаку. Такие уравнения называются симметричными уравнениями 2 рода и их решают аналогично.

Пример7. Рассмотрим решение симметричного уравнения четного порядка:

х-7х³+14х²-7х+1=0 Слайд 4

+1)+(-7х³-7х)+14х²=0

Разделив данное уравнение на х², получим:

(х²+)-7(х+)+14=0

Возведя выражение х+ в квадрат и заменив его буквой у, получаем:

у²-7у+12=0

у1=4 у2=3

Для нахождения корней симметрического уравнения достаточно решить уравнения:

х+=4 и х+=3.

Пример 8. Теперь рассмотрим пример решения уравнений нечетного порядка:

12х+18х-45х³-45х²+18х+12=0

Сгруппировав члены с одинаковыми коэффициентами, имеем:

(х+1)(12(х-х³+х²-х+1)+18х(х²-х+1)-45х²)=0

(х+1)(12х+6х³-51х²+6х+12)=0

Из уравнения х+1=0 находим первый корень данного уравнения: х1=-1. А другие корни уравнения находятся при решении симметричного уравнения


12х+6х³-51х²+6х+12=0.

Разделив это уравнение на х², получаем:

12(х²+)+6(х+)-51=0

Отсюда введя обозначение у= х+, приведём его к уравнению:

12у²+6у-75=0

Или разделив обе части уравнения на 3, имеем:

4у²+2у-25=0,

Корни, которого равны у1,2=-1±. Следовательно, чтобы решить уравнение, нужно найти корни уравнений: х+=-1- и

х+=-1+.

Пример 9. Рассмотрим пример решения симметричного уравнения 2 рода:

30х-17х³-228х²+17х+30=0

Разделив данное уравнение на х², получим:

30(х²+)-17(х-)-228=0

Обозначив х-=у, а х²+=у²+2, заменим следующим уравнением:

30(у²+2)-17у-228=0

30у²-17у-168=0

Его корни у1=; у2=-2,1. Значит корни уравнения находим из уравнений: х-= - и х-=. Следовательно корни исходного уравнения равны: х1=-; х2=; х3=3; х4=-. Слайд 5

Пример 10. Найдём корни уравнения х-3х³+9х²-27х+81=0.

Это уравнение не является симметричным, но его можно решать методом решения симметричных уравнений. Для этого разделим его на 9х²:



Отсюда, вводя обозначение у=х+ и учитывая, что х²+=у²-18, получим уравнение у²-3у-9=0. Его корни: у1,2=Следовательно, имеем уравнение х+или 2х²-(3±√5)х+18=0, которые не имеют корней.

Пример 11. Рассмотрим ещё один пример решения уравнения способом симметричного:

х+1=2(1+х)

х+1-2(1+х)=0

х+1-2(1+4х+6х²+4х³+х)=0

х+1-2 ((1+х)+4(х³+х)+6х²)=0

+1)-2(1+х)-8(х³+х)-12х²=0

Разделим полученное уравнение на х², получим:



Сведение уравнения к системе уравнений – это ещё один приём решений уравнения высшей степени.

Пример 12: х+(1-х)=17

  1. 1-х=у

  2. х=17

х+у=1 Возведём в система уравнений второе уравнение в четвёртую степень, получим систему

х=17

х+4х³+6х²у²+4ху³+у=1

4х³у+6х²у²+4ху³=-16

(4х³у+4ху³)+6х²у²=-16

4ху(х²+у²)+6х²у²=-16

4ху((х+у)²-2ху)+6(ху)²)=-16

Слайд 6

х+у=1

4ху(1-2ху)+6(ху)²=-16


х+у=1

4ху-8(ху)²+6(ху)²=-16


-2(ху)²+4ху=-16

-2(ху)²+4ху+16=0

Полученное уравнение разделим на -2, тогда имеем:

  1. ху=z

z²-2z-8=0

z1=4 z2=-2

Остаётся решить системы уравнений:

ху=4 ху=-2

х+у=1 х+у=1

Для упрощения решения уравнений нередко применяются формулы сокращенного умножения.

Пример 13 Слайд 7

х-5х³+10х²-10х+4=0

1). Разделив это уравнение на х², выделяем полный квадрат и получаем уравнение специального вида, затем это уравнение приводим к квадратному:

х²-5х+10- ² + ; +

а) =1; х2=2;

б) это уравнение не имеет действительных корней.

2). Применяя формулу бинома Ньютона, где n=5, это уравнение можно решить другим способом.

Умножим обе части уравнения на х , получим:

х-5х+10х³-10х²+4х=0

(х-1)-(х-1)=0;

(х-1)((х-1)-1)=0

(х-1)((х-1)²+1)(х-1)²-1)=0

Х1=1; х2=2; х3=0, но корень х=0 посторонний корень.

Пример 14. (8х+7)²(4х+3)(х+1)=

Умножим обе части уравнения на 16, получим:

(8х+7)²(8х+6)(8х+8)=72.

Обозначим 8х+7=у, тогда уравнение примет вид:

у²(у-1)(у+1)=72;

у-у²-72=0.

Следует помнить ещё об одном способе решения уравнений.

Графическая иллюстрация уравнения и его корней подсказывает, на первый взгляд, и способ решения уравнения – начертим две кривые и найдём их точки пересечения. Действительно, если выбрать не слишком мелкий масштаб и начертить графики достаточно аккуратно, мы сможем приближенно найти точки пересечения. Но для того, чтобы найти координаты точек пресечения точно, как раз и нужно решить соответствующее уравнение! В то же время графическая иллюстрация часто помогает дать некоторые качественные ответы: найти число корней, грубо указать отрезки на числовой оси, где они могут находиться и т.п.

Для графического решения часто бывает полезно переписать уравнение в виде f1(x)=f2(x) c таким расчетом, чтобы графики у=f1(x) и у=f2(x) было удобно построить.

Решение уравнений одна из основных задач алгебры, т. е. как сказал Омар Хайям: «Алгебраические решения проводятся лишь с помощью уравнений».

Научиться решать уравнения – благодарная миссия так как роль их определена Чосером Д:

«Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем!

И засуху предсказывал, и ливни.

Поистине его познанья дивны.»



Похожие:

Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconСправочник по высшей математике. Киев, 1974 743; 300; 3,07 Бронштейн, Семендяев. Справочник по математике,1986 544; 250; 4,1
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников, инженеров. Пер с англ., 1973
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconКонспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Рольф,2002. 288 с. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. М.: Рольф,2002. 256 с
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1 – М.: Наука, 1970,1972,1976,1978. – 456 с
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconСправочник по элементарной теории музыки москва 2012 год содержание
Предлагаю вниманию преподавателей и учащихся новое учебное пособие, которое можно использовать для изучения элементарной теории музыки...
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconТематическое планирование по математике Классы
«Сборник нормативных документов. Математика. Примерные программы по математике». Подготовленный Временным научным коллективом «образовательный...
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconДля учащихся 8 классов на основе стандарта основного общего образования по математике, примерной программы по математике для основной школы, «Обязательного минимума содержания основного общего образования по математике»
Обучение ведется по учебнику алгебры, 8 класс Ю. Н. Макарычев,Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского....
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconВ настоящем пособии, содержащем планы уроков, раскрывается система работы по обучению математике учащихся 1 класса в соответствии с программой и учебным комплектом: учебником «Математика» для 1 класса авторов М. И
«Математика» для 1 класса авторов М. И. Моро, С. И. Волковой, С. В. Степановой (в 2 частях)* и «Тетрадью по математике №1», «Тетрадью...
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconТематическое планирование по математике Классы 5 а и б Учитель Доброхотова Э. Р. Количество часов Всего 210 часов; в неделю 6 часов
«Сборник нормативных документов. Математика. Примерные программы по математике». Подготовленный Временным научным коллективом «образовательный...
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconТематическое планирование по математике Класс 5 Учитель садыкова м. М количество часов Всего 210 часов; в неделю 6 часов
«Сборник нормативных документов. Математика. Примерные программы по математике». Подготовленный Временным научным коллективом «образовательный...
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconПояснительная записка цель: Освоение основ математических знаний, формирование первоначальных представлений о математике; воспитание интереса к математике, стремления использовать математические знания в повседневной жизни
...
Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев iconПо самообразованию: «Решение задач с использованием графических схем»
Одна из основных задач обучения математике в начальной школе формирование у учащихся общего умения решать задачи
Разместите ссылку на наш сайт:
Справочники, творчество


База данных защищена авторским правом ©tvov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
контакты